Analisi Matematica 1 e Geometria

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Codice identificativo insegnamento: 082919
Programma sintetico:

INSIEMI NUMERICI
I numeri reali: numeri naturali, principio di induzione, numeri interi e razionali. I numeri reali: principio di completezza. Estremo superiore ed estremo inferiore. Ordine e disuguaglianze.

NUMERI COMPLESSI
Rappresentazione algebrica, modulo, coniugato, piano di Gauss, rappresentazione trigonometrica e esponenziale, formula di de Moivre, radice n-esima, risoluzione di equazioni, sottoinsiemi del piano di Gauss definiti da disuguaglianze.

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
Nozioni di base: definizione, dominio, immagine, grafico. Grafico delle funzioni elementari. Operazioni elementari sui grafici. Simmetrie di grafici. Funzioni monotone. Funzioni invertibili e loro inverse. Grafico della funzione inversa. Funzione composta. Successioni: Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Unicità del limite. Algebra dei limiti. Permanenza del segno. Successioni monotone. Esistenza del limite di successioni monotone. Criterio del confronto, del rapporto, limiti notevoli.
Limiti e continuità di funzioni: definizione, principali proprieta': unicità del limite, permanenza del segno algebra dei limiti, teorema del confronto, limiti notevoli. Continuità. Classificazione delle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue; teorema degli zeri, teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Applicazioni. Calcolo differenziale: definizione di derivata, regole fondamentali di derivazione, derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle funzioni derivabili. Classificazione dei punti stazionari. Funzioni convesse. Applicazioni a problemi di ottimizzazione (ricerca di massimi e minimi). Studio di funzioni. Ordini di grandezza (asintotico, o piccolo), Teorema di de l'Hopital. Formula di Taylor: resto secondo Peano, resto secondo Lagrange . Applicazioni della formula di Taylor: calcolo di limiti, approssimazione. Calcolo integrale: Costruzione dell'integrale. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per parti, per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrali generalizzati, definizione e criteri di convergenza. Funzioni integrali.

SERIE NUMERICHE
Serie numeriche, definizione. Serie Notevoli. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, radice, rapporto, integrale. Serie a termini di segno qualunque. Convergenza semplice e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.

CALCOLO VETTORIALE
Vettori geometrici nel piano e nello spazio, definizione, operazioni e proprietà. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale e prodotto misto.

ELEMENTI DI GEOMETRIA NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Rette nel piano. Rette e piani nello spazio: equazioni parametriche e cartesiane. Mutue posizioni. Distanze. Angoli.

Esercizi:

 

Prima prova in itinere:

 

Seconda prova in itinere:

 

Appelli d'esame:

 

 

 

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